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    2019年教师考友说

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    [数学] 数学教师招聘考试专业知识复习(1)

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    发表于 2019-3-12 11:05:38 |只看该作者 |倒序浏览
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    一、复习要求(由于招考题目仅为高考知识,所以本内容以均为高考知识点)
    1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;
    2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;
    3、 理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;
    4、 理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;
    5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

    二、学习指导

    1、集合的概念:

    (1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;

    (2) 集合的分类:

    ① 按元素个数分:有限集,无限集;
    ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;

    (3) 集合的表示法:

    ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};
    ②描述法。

    2、两类关系
    3、集合运算

    4、命题:
    (1) 命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;
    (2) 复合命题的形式:p且q,p或q,非p;
    (3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
    (3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。

    5、 充分条件与必要条件


    6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

    7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

    三、典型例题
    例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。

    解题思路分析:

    在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}

    ∴ M∩N=M={y|y≥1}

    说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。

    例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。
    解题思路分析:

    例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。
    解题思路分析:

    假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾
    ∴ 假设不成立
    ∴ x、y中至少有一个大于1
    说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。


    例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。

    解题思路分析:

    例5、求直线l:ax-y+b=0经过两直线l1:2x-2y-3=0和l2:3x-5y+1=0交点的充要条件。
    解题思路分析:

    四、同步练习

    (一) 选择题



    2、 已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是
    A、 [0,2]       B、(-2,2)      C、(0,2]       D、(0,2)



        4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是
    A、11            B、10            C、16            D、15

    5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是
    A、15            B、16            C、31            D、32

    6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是
        A、所给命题为假                   B、它的逆否命题为真
    C、它的逆命题为真                 D、它的否命题为真

    7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
    A、充分不必要条件                 B、必要不充分条件
    C、充要条件                       D、既不充分也不必要条件



    9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
    A、0<m≤1或m<0                   B、0<m≤1
    C、m<1                            D、m≤1

    10、已知p:方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q:a,b是整数,则p是q的
    A、充分不必要条件                 
    B、必要不充分条件
    C.充要条件
    D、既不充分又不必要条件

    (二) 填空题


      12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。

       13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是______________。
       
       14、 命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。



    (三) 解答题
    16、 设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。

    17、 已知抛物线C:y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。


    18、 设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。






    集合与简易逻辑参考答案
    (一) 选择题
    1、C   
    2、A   
    3、C   
    4、C   
    5、D   
    6、B   
    7、B   
    8、C   
    9、D   
    10、A

    (二) 填空题
         11、φ   
       12、25,60   
       13、-1≤a≤1   
       14、若a、b均不为0,则ab≠0   
       15、7

    (三) 解答题
        16、a≥1或a≤-1,提示:画图


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